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一、综合题

1． 设S 是椭圆

面面,

的上半部分,

点

. ,

为S 在点P 的切平

为点0 （0, 0, 0）到平面的距离, 求

【答案】设（X , Y , Z ）为上任意一点, 则的方程为

由此易知

由S 的方程

有,

于是

其中

:

是S 在xOy 平面上的投影.

作极坐标变换容易求出:

2． 设函数

【答案】构造函数:

可知,

连续且有界。但是

在

时非一致连续.

当

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在开区间在

内连续且有界, 试讨论内非一致连续.

在内的一致连续性.

反证法:如果函数一致连续, 则对时,

令

当n 足够大的时候

出现矛盾, 所以原命题成立.

3． 求下列级数的收敛域.

（1）（2）（3）

.

. 因为

而

所以

令当

, 解这个不等式可得时, 级数变为

. 易见其通项

所以原级数在域为

（2）令

, 则原级数化为

. 易知它的收敛域为（-1, 1）. 令

.

, 解之可得x>1或

处收敛; 类似的讨论可知, 原级数在

处也收敛. 故原级数的收敛

, k> 1为整数;

【答案】（1）记

x<-1, 即原级数的收敛域为

（3）用根式判别法

.

, 欲使P<1, 必须

.

当时, 级数变为, 显然发散. 故原

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级数的收敛域为（-1, 1）.

4． 设

考察函数, 在原点（0, 0）的偏导数. 【答案】由于

不存在,

所以, f （x , y ）在原点关于x 的偏导数为0, 关于y 的偏导数不存在.

5． 求一正数a , 使它与其倒数之和最小.

【答案】

令1.

故

6． 求下列均匀密度的平面薄板质心:（1）半椭圆的等腰梯形.

【答案】（1）设质心位置在

, 由对称性

,

（2）设等腰梯形在直角坐标中位置如图, 其质心位置为

图

其中

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,

则,

由

得, 舍去－1得a =

,

. 所以a=1是f （a ）的极小值. 因此a=1时, 它与其倒数之和最小.

（2）高为h , 底分别为a 和b

. , 由对称性,