2017年湖北省培养单位武汉物理与数学研究所801高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
2． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时， 3．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
【答案】B 【解析】
【答案】（A ） 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似. 5． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
由②有
为空间的两组基，且
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
二、分析计算题
6． 求齐次线性方程组
的解空间的一组标准正交基. 【答案】
原方程组与下面方程组同解
所以方程组
有基础解系
设V 为原方程的解空间，则
. 将
正交化，得
正交化，得：
故为解空间V 的一组标准正交基.
7． 判断下列矩阵是否满秩、可逆？若可逆，求其逆方阵：
【答案】易知：降秩
；
满秩且可逆，其逆方阵为
8． 设
其中（1）秩（2）若
故
满秩，但不可逆；
为3维列向量，矩阵
分别是
线性相关，则秩
的转置，证明：
【答案】（1）证法1:
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