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一、选择题

1． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】

3． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

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使AB=0, 则（ ）

.

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

时，

则线性方程组（ ）•

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则

【答案】D 【解析】 4． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

秩

未知量个数，

有零解.

则A 与B （ ）.

使

因此A 与B 合同. 5．

设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

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则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于-1

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

所以f 为正定的.

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

二、分析计算题

6． 证明：对任一三角阵.

另一种方法是直接证明：取n 维线性空间V 的一组基使

在该基下的矩阵为A. 由于是复数域，

补充

使

特征向量

及

为V 的一组基，设

作V

上的一个线性变换

及属于的一个

必有复特征值，取一个特征值

复系数矩阵A ，存在可逆矩阵T ，使

是上三角矩阵.

【答案】一种方法，它相似于若尔当形，即相似于一个下三角阵. 把基的次序换一下就可得上

则有

对A 的级数n 作归纳法. n=l, 结论显然成立.

又设n-1时结论成立，即对（n-1）级方阵B 有可逆阵

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使为上三角阵. 则