2017年黑龙江大学中俄学院(中俄联合研究生院)820高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
第 2 页，共 47 页
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
使AB=0, 则（ ）
.
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
时，
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
5． 设向量组
，
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
第 3 页，共 47 页
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
线性无关.
二、分析计算题
6． 设f （x ）是有理数域上n 次[n≥2]多项式，并且它在有理数域上不可约，但知f （x ）的一根的倒数也是f （x ）的根。证明:f （x ）每一根的倒数也是f （x ）的根。
【答案】设b 是f （x ）的一根，f （x ）的根。
令
，其中d 为f （x ）的首项系数，不难答:g （x ）与f （x ）有相同的根，
也是f （x ）的根。再设c 是f （x ）的任一根。下证也是
其中g （x ）是首项系数为1的有理系数不可约多项式。
设
由于
由g （x ）不可约 及①，②两式可得
故
由③式可知，当f （c ）=0时，有f （c ）=0，且
7． 求作一个一元多项式，使它的各根分别等予
【答案】方法1令
即
则
故多项式
为所求.
的方幂的和，由综合除法直接计算得
第 4 页，共 47 页
的各根减1.
方法2将f （x ）表示成