2017年湖北大学数学与统计学学院601高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
2． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为所以向量组
3． 齐次线性方程组
线性无关.
线性无关.
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
使AB=0, 则（ ）
.
【答案】C 【解析】若当C.
4． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
时，
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
是（ ）二次型.
是不定二次型，故选B.
方法2 设二次型矩阵A ，则
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
中选三个向量组
从而否定A ,
若选从而否定C ,
二、分析计算题
6． 设
分别是齐次方程组
可写成
其中第一个向量属于
-1
，
有
7．
设
是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明
：
也是一组标准正交基.
【答案】由
到
的过渡矩阵是
因为
所以A 是正交矩阵，又题设
8． 设
是标准正交基，所以
也是标准正交基.
第二个向量属于
再由维
故
即有维
知
又易知维
于是
与
的解空间，证明
【答案】任意
是n 维欧氏空间V 中一组向量，而
证明：当且仅当【答案】设
时，
则
线性无关.
是一个m 元二次型.
线性无关的充分必要条件是对任意不全为0的
都有
即有
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