2017年湖北省培养单位武汉物理与数学研究所801高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组
【答案】（C ） 【解析】设即证秩 2． 设
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
的解空间分别为
则
所以
的解，则（ ）。
是非齐次线性方程组
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由
3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
4．
设是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基到
基
【答案】（A ）
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 二、分析计算题 6． 设n 阶实矩阵 （1）（2）（3）试求A 的秩. 【答案】由，结合（2）（3）知 满足条件 知，从而 又因为 令不妨设程） 可得 两边消去 7． 设 得 得出矛盾. 故 计算n 阶行列式 【答案】先将D 加边成以下n+1阶行列式 从而 如则由 则存在非零向量的第一个方程（如 使 则取第k 个方 再将此行列式的第一行乘-1加至其余行；然后再将其加边成以下n+2阶行列式 再将此n+2阶行列式的第一列乘-1加 到第 列各乘 都加至第一列，再将第 到第二列，得 列依次分别乘 列；然后将所得行列式的 第 都加