2017年湖北师范学院数学与统计学院801高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
2． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
的解，则（ ）。
则
所以
即证秩
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】秩
3． 设线性方程组
未知量个数，
的解都是线性方程组
的解空间分别为
【答案】（C ） 【解析】设
4． 设则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
二、分析计算题
6． 记
【答案】
令完.
7． 计算
P 为数域，假设
有特征值
为同构. 因为
特征值为
，它们均不是A 的特征但
均不是
A 的特征值. 试证明V 的变换
则
显然保持加法与数乘，下证是一一对应的.
所以是单射，由于V 是有限维空间，所以V 是满射，证
值，得X=0, 此说明
的核
【答案】将行列式升阶
将第一行乘以加到第i 行，得
8． 设A ，B 为n 阶方阵. 证明：
①
②
又由
于
是关于x 的首系数为1的n 次多项式，
故
有相同的特征多项式，即
这是关于x 的一个恒等式，故当x=0时也相等. 即
两边取行列式，并由拉普拉斯定理得
同理有
故
，由（7）（8）即得②因为
故其
9． 证明：实对称阵A 半正定
【答案】
设
次项系数相等，从而的一切主子式
证法由于
从而由上知
，
【答案】①证法若A ，B 中有一个可逆，例如，A 可逆，则
任取一k 阶主子式
则对A 存在一个置换阵P , 使的前k 行，前k 列恰是