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一、证明题

1． 设函数

(1) 当n 为正整数，且(2

)

所以

又因为

是以为周期的函数，所以

所以当(2) 由(1) 知，当

时，有

时，有

令

2． 设

【答案】因知收敛.

3． 设在

【答案】则有使得

即

，时，证明:

【答案】(1) 因为

可得

且

有界，证明

使

收敛.

从而

又

收敛，由比较原则

有界，故存在

上三阶可导，证明存在使得

连续使用柯西中值定理，

4． 已知证明

：

则

内严格单调递增.

此即

则

【答案】令所以f (x ) 在又f (0) =0，因此再令，

所以g (x ) 在又

内严格单调递增.

此即

5．

设函数

【答案】由于

在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数，

证明其中

为

沿L 外法线方向n 的导数.

所以

由题意知在D 上具有连续导数，故由格林公式知

因此

6． 设

也是【答案】

为上的凹函数.

由此推出

由凹函数定义，即知

是

上的凹函数.

上的凹函数，求证：

二、解答题

7． 设求证递推公式：

【答案】因为

所以

8． 计算四重积分

【答案】作变换则得

9． 求

【答案】由于

所以

其中

由原函数的连续性，若记

则故

10．研究函数

【答案】设

的连续性及可微性.