2017年信阳师范学院教育硕士827数学分析[专业硕士]考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设函数
(1) 当n 为正整数，且(2)
所以
又因为
是以为周期的函数，所以
所以当(2) 由(1) 知，当
时，有
时，有
令
2． 设函数f (x ) 在点x=0的某邻域内有定义
，
【答案】
由于
存在且
则有
从而
故
因为
义有
(否则
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，时，证明:
【答案】(1) 因为
可得
存在. 证明
：绝对收
敛
绝对收敛
.
绝对收敛，所以
又f (x ) 在点x=0连续，所以f (0) =0, 由导数定
当
的敛散性相同，矛盾) .
绝对收敛时，
只能有
3． 设在
【答案】由即在
在
上连续，且证明
当
时，有
在
从而
上有界.
综合上面可得
知，对于数1，存在内有界，又由上有界. 设
将
在
上连续知，分拆成两项
其中第一项当时必趋于零. 事实上
对第二项使用第一中值定理，存在由于故证得
时
，
所以
使
从而
4． 证明
【答案】取虽然满足
在
上不一致连续.
但是因此，
在
上不一致连续.
二、解答题
5． 设向量函数
定义如下
其中定了唯一的
隐函数
并求
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证明：在点的某邻域内，向量函数方程确
【答案】计算得知
在
上连续，由
得
显见
det
. 确定了惟一的隐函数
因为
所以
于是
6． 求下列极限：
【答案】(1) 因
所以
(2)
7． 计算重积分
其中D 是以
为顶点，面积为A 的三角形.
【答案】可以利用重心公式直接求得结论，本题采用具有一般性的方法进行求解. 三角形为凸集，它的点总可表示为
作变换：
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所以，在
点
且
的某邻域内，向量函数
方程