2017年南方医科大学公共卫生与热带医学学位分委员会617数学综合之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设数形式. 令
是由方程代
则
所确定的隐函数，试求
【答案】
欲将从所给的方程中解出来是非常困难的，甚至是不可能的，因此，必须引入参入所给的方程可得
故
2． 设
在
上二次可微，且
证明:【答案】
及任意的实数h ，由泰勒公式，有
将上两式相减得
所以
固定h , 对上式关于x 取上确界，可得
上式是关于h 的二次三项式，由其判别式
可得
3． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a，b]内可积，证明:对[a，b]内任意分割
有
【答案】由积分的定义知
且
由于
可积，所以
(
所以
所以原命题成立.
4． 1) 设
(1) (2) 若
则
证明：
(又问由此等式能否反过来推出
) ；
为振幅)
2) 应用上题的结论证明下列各题： (1
) (2
) (3
) (4
) (5
) (6
) (7)
若(8)
若
【答案】(1) 因
为
于是当
则则时，有
所以对于任意
的
存在正整
数
当
时，
有
其中
的
存在正整数
使得当
时，有
又因为所以对上面
取
则当
时，有
故
由这个等式不能推出(2) 根据极限保号性，由
有
由1)(1) 的结论可得
再由迫敛性得因此，由迫敛性得2)(1) 因为(2)
令(3)
令
所以
则
如果a=0, 则
综上所述，有
由第1)(2) 题知，
则
由第1(2) 题知，
(4)
令
则
由第1)(2) 题知，
) .
(5)
令
则
由第1)(2) 题知，
因而
且
例如
可得
如果a>0, 那么
但
不收敛.
由平均值不等式