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一、证明题

1． 设函数在

上连续，在

内可导，且

证明：存在

【答案】因为

因而取存在

使得

2． 设f (x ) 在[0, 1]上连续，且

收敛.

【答案】对任意的

使从而

3． 设

【答案】

由题设

可知

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使得

则函数F 和G 在

上满足柯西中值定理的条件. 于是

在

因为

上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛，所以

从而

时

，

由于f (x ) 在[0, 1]上连续，所以在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

存在

为在[0, 1]上的最大值，从而存

在使得

当

由于收敛，故该级数在[0，1]上绝对且一致收敛.

证明

介于1与之间.

于是原命题得证.

4． 已知f (x ) 在[0，1]上二阶连续可导，证明：

【答案】因为f (x ) 连续，所以

可被取到，不妨设

由拉格朗日中值定理得

又因为

所以

即

5． 设f ，g 在点连续，证明：

(1) 若(2) 若在某

【答案】(1) 令

切

.

(2) 因为f ，g

在点

于是，当连续，所以则存在内有

使在其内有则则

时

由f ，g 在点

在

内

和极限保

连续可知，F (x ) 在

使得对一

存在

某

也连续. 根据连续函数的局部保号性，对任何正

数

不等式性可得

6． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理。

【答案】根的存在定理：若函数f 在闭区间点

使得

假设方程

性知，对每一点符号. 于是，所有的来覆盖右端点

在形成

内无实根，

则对每一点

使得

在

有

由连续函数的局部保号内保持与

相同的它的

的一个开覆

存在x 的一个邻域

上连续，且

与

异号，则至少存在一

的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间

以此类推，经过有限次地向右移

这n

个开区间显然就是

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把这些开区间的集合记为S , 则点a 属于S 的某个开区间，设为又属于S 的另一个开区间，设为

使得

动，

得到开区间

盖

.

与 7． 设

在每一个所以

内保持同一个符号.

在

内

在

内也具有

的符号. 以此类推，

使得

与

与具有相同的符号.

因为

具有相同的符号. 这与

异号矛盾. 故至少存在一点

二、解答题

求所以

在限制条件

下的最

【答案】因为

8． 设大值.

【答案】先求f 在条件

下的最大值. 设

令

解得

于是f 在条件故f 在条件

下的最大值为下的最大值为

9． 计算

【答案】设

，其中

为曲线

因为

所以积分与路径无关.

取积分路径为从(1，1，0) 到(1，1，1) 的直线段，则

10．讨论下列无穷积分的收敛性：

从(1, 1，0) 到(1，1, 1) 的部分.

为已知的n 个正数，求

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