2017年南华大学数理学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 已知
是
上的正的连续函数，且
不等式得
从而
由于则即得
2． 设f (x ) 为[a，b]上的有界可测函数，且
【答案】(反证法) 假设令
则必然存在某个
使得
这与题设矛盾，所以原命题成立. 3． 设
b]上的连续函数列，为[a，且对任意
在[a，b]上不一致收敛于f (x ) ，则使得
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求证
：
【答案】由
收敛，所以
证明：f (x ) 在[a, b]上几乎处处为0.
那么
有证明：如果
对任意正整数k
，
收敛于连续函数f (x ) ，则
【答案】假设
在[a, b]上必一致收敛于f (x ) .
设
再由
由于在点
故存在正整数N ，使得
连续，且所以
. 由
关于n 单调递增趋于f (x ) ，
由保号性，存在正整数K ，当k>K
时有所以当n>N时
4． 给定两正数
证明:
与
矛盾. 从而
与
作出其等差中项
皆存在且相等.
可知
，所以
为单调递减，
与
在[a，b]上一致收敛于f (x ) .
与等比中项
，一般的令
【答案】由又因为因此，|
5． 设
因而
为单调递增. 并且
对
皆存在且根等.
可微，则有
即都是有界的. 根据
两边取极限，得
单调有界定理知
于是a=b, 即在点
的极限都存在.
设
的某邻域内存在且在点
【答案】应用中值定理有
由
在
处可微知
所以
. 同理由在
为两个常数，定义
在
有
证明:
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处可微得
从而
6．
设
上的函
数
在附近有界，且
对
由
当
对故
由
可推得
.
时，有
在
附近有界，
所以
时有
从而
(n 为任意正整数) ,
而
于是取
当
可知存在正整数N ，使得
二、解答题
7． 计算下列积分：
与三个坐标面所围成的区域；
所围成的区域.
【答案】
(3) 积分区域V 如图
1
图1
(4) 积分区域V 如图
2
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