2017年南华大学数理学院601数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在区间I 上连续，证明：
(1) 若对任何有理数【答案】(1)
设当
为有理数时(2)
设有两个实数数从而
.
和
存在而当
满足
故f 在上严格递增.
2． 对
【答案】令因此
故
3． 证明
：
【答案】令
则
于是
在
时，
内严格递增
即
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有则在I
上有
则f 在上严格増.
使
(2) 若对任意两个有理数
由f 的连续性得
为中的任一无理数，由有理数的稠密性知，
存在有理数列
又因为
使得
：
可知时
从而
再由
由有理数的稠密性知，
存在有理数
两点连续. 由) ，使得当.
时
(设
所以
也为0，于是，在上
并且对于正
存在有理数
知，
因为f (x ) 在上连续，所以f (x ) 在
应用拉格朗日中值定理，试证：对
则
对
有
应用拉格朗日中值定理得
故f (x )
在
内严格递增，
当
4． 设f (x ) 在(a , b ) 内二次可微，求证：
满足
【答案】令
利用
中值定理得
利用
中值定理得
令
则
原式
5． 设X 与Y 是中两个不同的量
【答案】假设即
从而有
产生矛盾，于是
6． 证明：(1)
(2
)
【答案】(1) 设间为
且y
可在
满足方程
满足方程
故
内任意阶可导，所以
(2)
设
故
具有任意阶导数，由
所以幂级数的收敛区间为
可得
且和函数y
在
从而幂级数
的收敛区
则存在
证明：
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所以又由
得
二、解答题
7． 讨论下列函数在给定点或区域上的连续性：
(1) (2)
【答案】(1) 因为
而当
时有
所以
即当当
时f (x ，y ) 连续. 时，由于
所以f (X ，y ) 在点(0, 0) 不连续. (2) 函数的定义域为当
上任一点
当
时有
于是
则f (x , y) 在y 轴上处处连续，故f (x , y) 在其定义域上是连续的.
8． 讨论函数
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时，由初等函数的连续性知f (x ，y ) 连续. 下面只考虑x=0(即y 轴) 上点的连续性. 对y 轴