2018年江苏大学财经学院886概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 求掷n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.
【答案】记
为第颗骰子出现的点数，
分布列为
表
所以
由此得
2． （巴拿赫问题）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有概率是此概率的2倍.
先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n -r +l 次，故样本空间中共有
个样本点.
个，因此
事件E 发生可分两段考察，前2n -r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次（第2n -r +l 次）必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有
. 所求概率为
譬如，取n=20，r=10, 可算得
根的概率是多少？
【答案】由对称性知，只要计算事件E =“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求
则
独立同分布，其共同的
3． 一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数. 假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例P 的最大似然估计. 该地质学家所得的数据如下表:
表
【答案】本题中，总体X 为样品中石灰石的个数，且X 服从参数为即
则其似然函数为（忽略常数）
对数似然函数为
将对数似然函数关于P 求导并令其为0得到似然方程
解之得
由于
由二阶导数的性质知，P 的最大似然估计为
4． 把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率.
【答案】考虑n 个“1”的放法:2n 个位置上“1”占有n 个位置，所以共有这共有
种放法，于是所求概率为
具体可算得
随着n 的增加，此种事件发生的概率愈来
的二项分布，
为样本，
种放法，这是
分母，而“没有两个1连在一起”，相当于在n 个“0”之间及两头（共n+l个位置）去放“1”，
愈小，最后趋于零.
5． 如果
试证: （1）（2）
【答案】（1）因为故当即
（2）先证明使有这时有
时，有
成立，进一步由对任意的
可得
所以又有
）， 时，有
成立.
取M 足够大（譬如
成立，对取定的M ，存在N ，当
从而有
由即
的任意性知
成立.
同理可证
由上面（1）得
6． 从n 个数1，2，…，n 中任取2个，问其中一个小于k （l 【答案】从n 个数中任取2个，共有n 分成三组:第1组=相当于将1, 2, …，于是所求概率为 7． 设 种等可能的取法. 而其中一个小于k 、另一个大于k ，第2组 = ，第3组= 种取法. 于是所求事件是从第1组中任取1个且从第3组中任取1个，这共有 是从二点分布抽取的样本，试求样本均值的渐近分布. 样本容量为20, 因而样本均值 【答案】二点分布的均值和方差分别为p 和
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