2017年北方工业大学线性代数与概率统计(同等学力加试)之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 已知矩阵A 的伴随阵
【答案】先由来确定
故
再化简所给矩阵方程
由
知
得于是
2． 在R 中取两个基
由题意知
且存在，有
求B. 得，
而
（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； （2）求向量
【答案】（1）显然有
在后一个基下的坐标；
（3）求在两个基下有相同坐标的向量
所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基
下的坐标为
则由坐标变换公式，有
（3）设向量Y
在两个基下有相同的坐标
为Y ，则
，
由坐标变换公式并仍记坐标向量
即（P-E ）Y=0.易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩R （P-E ）=3,
从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系. 故所求向量为k 为任意常
数.
3． 试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称阵化为对角阵；
【答案】（1）先求特征值：
所以A 的特征值为
再求特征向量： 对应
解方程（A+2E）x=0, 由
得单位特征向量对应
解方程（A-E ）x=0, 由
得单位特征向量
对应解方程（A-4E ）x=0，由
得单位特征向量则P 为正交阵，且有
令
（2）
所以A 的特征值为
对应
解方程
由
得单位特征向量
对应
解方程（A-E ）x=0, 由
得线性无关特征向量：
将
正交化得：
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