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一、计算题

1． 设矩阵

【答案】先求x ，y :

因得y=l+x.

因由

再求正交阵P. 对应

解方程（A-5E ）x=0，由

得基础解系

把它们正交化、单位化，得

对应于

解方程（A+4E）x=0, 由

得单位特征向量

是A 的特征值，有

与

相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使

相似，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质：

5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.

得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A 的特征值为

则P 是正交阵，且有

2． 求一个正交变换把二次曲面的方程

【答案】记二次曲面为f=l, 则f 为二次型，它的矩阵为

由

所以A 的特征值为对应于

解方程Ax=0, 由

化成标准方程.

得单位特征向量对应于特征值

解方程（A —2E ）x=0.由

得单位特征向量

对应于特征值

解方程（A-llE ）x=0.由

得单位特征向量令

则P 为正交阵，并且正交变换

即为所求，在此变换下，二次曲面的方程化为标准方程

3． 求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1, 0, 1, 0, 0），（1, -1, 0, 0, 0）.

【答案】因的秩为2, 故满足要求的方阵可以是

4． 设

证明A 的特征值只能取1或2.

是

的特征值. 但是，零矩阵只有特征值

【答案】设A 是A 的特征值，则

0, 故则A=1或A=2.

5． 求下列齐次线性方程组的基础解系：

（1）

（2）（3）【答案】⑴

可知原方程的同解方程为

分别取，

得基础解系