2017年广西师范大学线性代数(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样？
【答案】由矩阵秩的性质，有
2． 利用逆矩阵解下列线性方程组：
【答案】将方程组写作矩阵形式Ax=b, 这里，A 为系数矩阵，为常数矩阵.
（1）因
故A 可逆，于是
为未知数矩阵，b
即有
（2）因故A 可逆，于是
即有
3． 设A 为n 阶矩阵，
证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根，
【答案】A 的特征值是特征多项式
从而A 与
的特征值也相同.
但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：
4． 用配方法化下列二次型成规范形，并写出所用变换的矩阵：
（1）（2）（3）
【答案】⑴由于f
中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得
令
即
写成矩阵形式：x=Cy，这里
为可逆阵. 在此可逆变换下，f 化为规范形：
（2）由于f 中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得
令
即
写成矩阵形式：x=Cy，这里
为可逆阵. 在此可逆变换下，f 化为规范形：
（3）由于f （x ）中含变量xl 的平方项，故把含xl 的项归并起来，配方可得
令
即
这里为可逆矩阵，
且易求得于是在可逆变换
5． 设
线性无关，
下，f 化为规范形：线性相关, 求向量B 用
线性表示的表示式.
使
【答案】方法一、因
因线性无关，故
线性相关，故存在不全为零的常数
，不然，由上式得
，这与
不全为零矛盾. 于是得
方法二、因关. 又因
线性无关，故
线性相关，故
，于是存在使
线性相关，即
线性相
6． 设方阵A 满足
证明A 及A+2£都可逆，并求
及
【答案】（1）先证A 可逆. 原式得AfA-五也就是