2017年安徽师范大学Z0903线性代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设A , B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似.
【答案】因A 可逆，故
由定义，AB 与BA 相似.
2． 设A 为列满秩矩阵，AB=C, 证明方程Bx=0与Cx=0同解.
【答案】若x 满足Bx=0, 则ABx=0, 即Cx=0.
若x 满足Cx=0, 即ABx=0, 因A 为列满秩矩阵，知方程Ay=0只有零解，故Bx=0. 综上即知方程Bx=0与Cx=0同解.
3． 设
【
，（k 为正整数），证明E-A 可逆，
并且其逆矩阵
答
案
】
则知E-A 可逆，
且其逆矩阵
4． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.
【答案】方法一、由定义，知AB 为正交阵.
方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，且
，从而AB 是正交阵.
5． 设n 阶矩阵A 的伴随阵为
（1）若
（2）【答案】⑴因
要证与
则
当
时，上式成为
是可逆矩阵，用
左乘上
此
的所有元素均为零. 这导致
用反证法：
设
由矩阵可逆的充要条件知.
时，结论成立；
于是
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由
于是AB 可逆，且有
证明：
式等号两边，得A=0.于是推得A 的所有n-1阶子式，亦即
为可逆矩阵矛盾. 这一矛盾说明，当（2）分两种情形： 情形1:情形2:
由（1）,
在两边取行列式，得
6． 试用施密特法把下列向量组正交化：
（1）
（2）
【答案】⑴
（2）
7． 由
，
，试证
所生成的向量空间记作
线性无关，
由
也线性无关. 又因
，
所生成的向量空间记作
【答案】因对应分量不成比例，故
于是
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则知向量组
8． 设
与等价，从而
证明向量组【答案】列向量组其中系数矩阵K 为
其行列式由（3）式即得），从而
与
，此表明
等价.
，故K 可逆.
能由
线性表示（其表示的系数矩阵为
与向量组
和
等价.
依次构成矩阵A 和B ，于是有B=AK，（3）
二、解答题
9． 已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A 的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B 的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化. 而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
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