2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数考研复试核心题库
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2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数考研复试核心题库（一） .... 2 2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数考研复试核心题库（二） .... 7 2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数考研复试核心题库（三） .. 14 2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数考研复试核心题库（四） .. 21 2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之工程数学—线性代数考研复试核心题库（五） .. 27
一、计算题
1． 设
问k 为何值，可使（1）R （A ）=1; （2）R （A ）=2; （3）R （A ）=3.
因
于是R （A ）=2;
【答案】方法一：因A 为3阶方阵，故所以当当k=-2时，当k=l时，
知R （A ）=1.
方法二：对A 作初等行变换
.
时，R （A ）=3.
又A 的左上角二阶子式不为零，故
于是，（1）当k=l时，R （A ）=1; （2）当k=-2时，R （A ）=2; （3）当（A ）=3.
2． 设A , B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似.
【答案】因A 可逆，故
由定义，AB 与BA 相似.
3． 设A ，B 都是n 阶对称阵，证明AB 是对称阵的充要条件是AB=BA.
【答案】因
故AB
为对称阵
4． 设A 为正交阵，且detA=-1, 证明λ=-1是A 的特征值.
【答案】
由特征方程的定义因此，只需证
而
是A 的特征值
且
时，R
5． 设求
【答案】把A 写成两个矩阵之和
其中三阶矩阵
于是
满足
6． 举反例说明下列命题是错误的：
（1）若
（2）若
则
则有
有
但
，但且
但
则A=（9或A=五；
（3）若AX=AY, 且【答案】⑴取
⑵取
（3）取有AX=AF，
且
7． 非齐次线性方程组
当λ取何值时有解? 并求出它的通解.
【答案】这里系数矩阵A 是方阵，但A 中不含参数，故以对增广矩阵作初等行变换为宜，求解如下：
因R （A ）=2, 故当R （B ）=2，即当
当
时，
选为自由未知数，得同解方程组
得通解
当
时，
选为自由未知数，得
即
8． 设
，
，c 与a 正交，且
求
因
正交，有
有
故
或
时，方程组有解.
【答案】以左乘题设关系式，得
得
而
二、解答题
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