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一、证明题

1． 设

且

是一个严格开区间套，即满足

证明：存在惟一的一点使得

【答案】由题设知

，

又

因

是一个闭区间套. 由区间套定理知，

存在惟一的点

所

以

使得即

2． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.

【答案】不妨设若

取

同样，若若

有

且满足因为f (x ) 在由于

3． 设

在

取

得证；

若

如此继续可得闭区间套

且

故有

处连续. 设

证明

【答案】因

为

又因为

在

在

上可积，所

以

当

因此，欲证结论成立，只需证

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若

若

得证；

取

于是

有

取满足

于是

于是由闭区间套定理知存在惟一的

处连续，故

所以

上可积，且在点

在上有界，设界

为

时，有

即

处连续，所以

通过计算易知

为此，将积分分为三段进行估计：

而

综上可知，原结论成立.

二、解答题

4． 分别用梯形法和抛物线法近似计算

【答案】（1）梯形法（取

）

（2）抛物线法（取

）

5． 计算第二类曲线积分

：

【答案】令

则所求的积分为

方向为逆时针。

（将积分区间十等分）。

令

则

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6． 计算四重积分

【答案】作变换则得

7． 设

求证递推公式：

【答案】因为

所以

8． 计算

【答案】由分部积分公式有

于是有

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其中

.