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一、证明题

1． 证明：

当

时一致收敛.

【答案】方法一

而

. 关于x 单调递减，且

所以当

时，

一致收敛于0.

由狄利克雷判别法知

当方法二 对

时一致收敛

作变换

即

则

由狄利克雷判别法知该积分收敛，从而对递减且一致有界，即

由阿贝尔判别法知，当

时

一致收敛。

为闭集；若E 为闭集，则为开集.

中至少有一个聚点不属于

因此，U

该积分一致收敛，又

关于x 单调

2． 证明：开集与闭集具有对偶性一若E 为开集，则设这个聚点为A , 则必有

【答案】(1) 设E 为开集，假设不是闭集，则由闭集定义知(A ) 中不含有Ee*的点，这与A

是

因为E 为开集，所以存在点A 的某邻域U (A ) ，使

的聚点矛盾，因此，若E 为开集，则为闭集.

(2) 设E 为闭集，假设不是开集，由开集定义知中至少有一个点不是为B ，则根据内点的定义知，对点B 的任何邻域U (B ) 都有U (B ) 不含于

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的内点，设这个点

即U (B ) 中含有E 中的

点，因此，B 为E 的聚点，但与

3． 证明若f 为周期函数，且

【答案】用反证法. 设的周期为

则有

知

.

这与题设矛盾. 故

是闭集矛盾，因而，若E 为闭集，则为开集.

则假设

则存在

使得

作数列

由归结原则

二、解答题

4． 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由椭圆移动到(0，6) ，求力所作的功.

【答案】椭圆的参数方程为：

由于力的反方向指向原点，则:(设k 为比例系数

)

5． 试作适当变换，计算下列积分：

【答案】⑴

，则

于是

(2) 令于是

6． 计算第二型曲线积分周

【答案】用位于x 轴上的线段

与上半圆周

形成一闭路，记所围区域为D ，则

其中

为自

至

的上半圆

则

沿

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所以

7． 叙述数集A 的上确界定义，并证明：对任意有界数

列

【答案】若存在数满足下面两条：

（1）（2）则称令

则

8． 试确定a 的值，使下列函数与当

时为同阶无穷小量：

【答案】（1）当

时，

因而

故当（2）

当

时

即当（3）

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总

有

一定存在

为数集A 的上确界，即supA=a.

时

.

当时为同阶无穷小量.

时

.

与

当时为同阶无穷小量.