2017年北京邮电大学理学院601数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.
【答案】不妨设
若
取
同样，若若
有
且满足因为f (x ) 在由于
2． 设函数f 在
【答案】由是区间
取
得证；
若
如此继续可得闭区间套
且
故有
且
知，对任给的因为
再由的任意性知，
3． 证明数集
有且只有两个聚点
和数
列
数列
聚点.
对任意
则当
时，
或者有
且
令
或者有
由
总之
得
取
则
【答案】令数
集
所以
存在正数M ，使得当所以存在正整数N ，使得
时
由
设得
有
中的任一数，由于
证明，
处连续，故
所以
上满足方程
取满足
于是由闭区间套定理知存在惟一的
于是
若
若
得证；
取
于是
有
由的任意性知，对所有的
都是各项互异的数列，根据定义2, 1和-1是S 的两个
由定义2知不是S 的聚点，故数集有且只有1和一1两个聚点。
4． 设
试证： (1) 存在(2) 存在
在上一阶可导，在内二阶可导，
使. 使
满足
使得
【答案】(1) 依题意，存在
故存在
(2)
令
罗尔
定理，存在再令
使得
使注意到
因为
使得
. 所以根据
并改写.
即得
则因为
二、解答题
5． 设
（1）若在某（2）证明若
内有则在某
内有
保不等式性只能从内
所
以即
同时，由于取
，
则当
所以存在
时
，
即在空心
邻域
内
有
使得当
时，有
即
但
（2）
令
时，有
因
为
由
于
所以存
在
使得
当
问是否必有
推出
例如，
取
为什么？
【答案】（1
）不一定有
则在0的任一空心邻域
6． 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：
（1）（2）（3）【答案】（1）
（2）
（3）
当当
时. 时，
当
时，
（2）上半圆的方程为
下半圆的方程为
于是
7． 计算积分
绕y 轴
绕x 轴。 绕x 轴；
绕x 轴；
【答案】内层积分积不出来，不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域D 的图形(见图)
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