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一、证明题

1． 设函数f 在点x=l处二阶可导. 证明：若

【答案】由复合函数求导法则可得

由

得

故当X=1时

2． (1) 叙述极限证明

不存在.

在

上有定义，

极限上有定义，极

阳

使

得

则

3． 设函数

【答案】令故由格林公式可得

具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L , 有

则有

并且故

存在的充要条件是：

任给

不存在的充要条件是

：

取

对任给

的

不存在.

' 对任

何

得

存在实数

使得对任何

(2)

设

在总存

在

【答案】(1)

设

的柯西准则；(2) 根据柯西准则叙述

不存在的充要条件，并应用它则在

处有

二、解答题

4． 求下列曲线在第一象限围成的图像的面积，

【答案】设区域

那么在变换

下，区域

波 对应地映为

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此时有

于是有

因此，所求面积为

5． 设

求证： (1) (2)

存在；

在(0, 0) 点不连续；

同样因f (0, y ) =0, 得

(3) f (x , y ) 在(0, 0) 点可微. 【答案】(1) 因f (x , 0) =0，所以(2) 容易求出

令y=x,

故

在(0，0) 点不连续. 同理可知

在(0, 0) 点不连续. (3) 由于以

按微分定义，函数在(0, 0) 点可微，且df (0, 0) =(0, 0) 或是可微的充分条件，不是必要条件.

6． 计算广义三重积分

其中D 为

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是有界变量，当1时，x 是无穷小量，所

可见偏导数连续

【答案】作变换：则

所以

其中

为

则

且

而

故

其中作变换：

则

从而

7． 将函数

【答案】因为

展开为傅氏级数，并求级数

是偶函数，所以

且

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再作球坐标变换

由上式可见，积分是存在的，下面展开计算.

的和.