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一、证明题

1． 证明：对任何

(1) (2)

并说明等号何时成立. 【答案】(1) 由三角不等式当且仅当(2)

当且仅当x=2时，等号成立.

2． 设

【答案】因为f 为有

又因为

取

故

3．

设级数

满足：

加括号后级数符号相同，证明

【答案】因为所以

设

故

又当

存在，即

时必有

从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

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有

可知，

时，等号成立.

证明

使得当

在

时.

内

，

时的无穷大量，所以对任意的M>0, 存在不妨设b>0, 则由函数极限的局部保号性知

.

则当

收敛

，亦收敛. 收敛，所以其中则

存在. 对任意的时，

，

且在同一括号中的

又因为括号内符号相同，

n ，存在k ，使

稩

二、解答题

4． 求极限

【答案】先求

为此令

取对数得

而

故

再令

而

由于

则

和

所以式（1）的极限等于0, 从而原极限=1.

5． 举例说明

：

【答案】

例如

收敛且f

在

令

得

上连续时，不一定有

收敛，且

在

上连续，

但不存在

6． 求由坐标平面及x=2, y=3, x+y+z=4所围的角柱体的体积.

【答案】立体V (如图) 在

面上的投射区域D —即积分区域为图中阴影部分，所以V 的体积

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图

7． 求由下列曲面所围立体V 的体积：(1) V 是由

(2) V 是由曲面【答案】(1)

由故体积

这里应用变换(2) 由

底面为

所以立体V 在xOy 平面上的投影为D :

则体积

且

8． 设

【答案】二元函数

上可微，且

在矩形区域

上连续，

在

均为可微函数. 则函数

•, 所以

立体的顶面为

所围的立体.

因此积分区均

和z=x+y所围的立体；

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