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一、证明题

1． 求证

：

【答案】当有

因为

是一个固定的数，

所以

时，即

时，

结论显然成立，当

即

时，设

则

由夹逼准则及(*)

式推出

2． 设

(1)

若(2)

若【答案】(1

)

3． 设

由条件得

则由条件推出在

求证：

则f 为单射，g 为满射；

则f 与g 互为反函数. ，

即

使得即f 为单射.

若

有

故g 为满射

；

上有一阶连续导数，且

证明：

【答案】

对其取极限可得

由已知条件有

二、解答题

4． 设

满足方程组

这里所有的函数假定有连续的导数.

(1) 说出一个能在该点邻域内确定x ，y ，z 为u 的函数的充分条件； (2)

在

【答案】⑴设

由已知条件

内连续；

内具有一阶连续偏导数；

故当

时，原方程组能在(2)

在

的邻域内确定

为U 的函数.

的情形下，上述条件相当于什么？

的情况下，上述条件相当于

即两两互异.

5． 试写出单位正方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.

【答案】在柱面坐标系下，用示为

的平面截立方体，截口是正方形，因此，单位立方体可表

在球面坐标系下，用

的平面截立方体，截口是长方形，因此单位立方体可表示为

其中

6． 设

可微，1是上的一个确定向量，倘若处处有

则

又 7．

设

(2) 设

并求势函数。

【答案】

此时A 为有势场，势函数

8． 求函数

在该点切线方向导数. 【答案】因曲线过点切线方向的方向余弦为：

而

故所求方向导数为：

试问此函数，有何特征？

【答案】设上确定向量1的方向余弦为

所以

即

说明函数，在点P (x ，y ) 的梯度向量与1垂直.

(1)

计算求

其中为螺旋线

(3) 问在什么条件下A 为有势场，

(3) 由(2) 知，当时，

在点处沿曲线

所以

于是

故曲线在点的