2017年南开大学数学科学学院716数学分析高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与是
的两个线性无关的解.
的一个特解，所以选C.
3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
4．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
【答案】（A ）
5． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
二、分析计算题
6． 若
是正定阵，诹
也是正定阵，且
【答案】A 是正定矩阵的顺序主子阵，因而正定，从而I1正定.
又即所以
合同汙
正定.
（2）
由所以
结合式（2）, 证完.
7． 证明：如果
【答案】
故
那么r （A+E）+r（A-E ）=n.
8． 设A 为n 阶矩阵，证明：如果
【答案】由
所以存在可逆矩阵T , 使
那么
正定，所以
半正定.
从@
正定.
对式（1）两边取行列式得
知，A 的特征值只能是±1, 而且A 的最小多项式
所以有
从而