2017年南开大学陈省身数学研究所845高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 2． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此 3． 设
又
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则线性方程组（ ）•
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
线性相关，所以线性相关，故选A.
为空间的两组基，且
于是
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 4． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 5． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D 的基础解系，
为任意常数，
由②有
的基础解系. 又由
是（ ）二次型.
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由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
二、分析计算题
6． 证明：A 与
【答案】设则存有n 阶可逆阵
相似，从而有相同的特征值. 但特征向量不一定相同.
且
的不变因子为
使
两边取转置得
从而
与
有相同的不变因子，
于是
这说明：A 与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值. 但特征向量不一定相同，比如设
当当
时，由时，由
得线性无关的特征向量为得线性无关特征向量为
则
则A 属于1
的全部特征向量为属于1的全部特征向量为
其中k 为P 中不为零的任意常数.
其中1为P 中不为零的任意常数，因此A 与具有不同的特征向量.
7． 用初等对称多项式表出下列n 元对称多项式：
（1）（2）（3）（4）（
【答案】（1）（2）（3）（4）
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表示所有由
经过对换得到的项的和. ）