2017年南开大学数学科学学院716数学分析高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设 可逆，由于 的伴随矩阵为（ ）. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则分块矩 且 所以 3． 若 【答案】C 【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得 都是4维列向量，且4阶行列式 ， 4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）. A.E B.-E C.A D.-A 【答案】A 【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有 B （E-A ）=E. 又C （E-A ）=A，故 （B-C ）（E-A ）=E-A. 结合E-A 可逆，得B-C=E. 5． 下面哪一种变换是线性变换（ ） . 【答案】C 【解析】 ，而 不一定是线性变换， 比如 不是惟一的. . 则 也不是线性变换， 比如给 二、分析计算题 6． 设 为三阶方阵A 的特征值，且对应的特征向量分别为以下三个向量，求 A. 【答案】因为A 是三阶方阵且三个特征值互异，故其所对应的 三个特征向量线性无关. 现以 其作列得可逆方阵 并且A 可对角化，即有 从而 7． 设V 是数域K 上的n 维线性空间，g 是V 上的非退化的对称双线性函数，W 是V 的子空间，令 证明： （1）（2） 将之扩充为V 的基 于是 的充要条件是其坐标是齐次线性方程组 设g 关于此 【答案】（1）取W 的一个基基下的度量矩阵为A ，则A 可逆. 因为 的解. 由（10-6）的系数矩阵的秩为r , 得到（10-6）的基础解系含n —r 个解向量，以其为坐标的向量设为 （2）记 则 由（1）知 就是 的基，于是显然 由 故结论成立. 故 8． 证明：奇数维欧氏空间的第一类正交变换有特征值1. 【答案】设T 是n （n 为奇数）维欧氏空间V 的第一类正交变换，即T 在某一标准正交基下的矩阵A 是正交矩阵且