2017年南开大学生命科学学院845普通生态学考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而 3． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
由②有
为空间的两组基，且
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
5． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
二、分析计算题
6． 设T 是线性空间V 上的线性变换，Z 是V 的非零向量. 若向量组与它们线性相关. 证明：子空间
【答案】线性表出，
线性无关，而可由
是T 的不变子空间，并求在该组基下的矩阵.
线性相关，所以
线性无关，而
即
则
故
即证W 是T 的不变子空间.
下的矩阵为A , 则
设T
在基
7． 设
数. 作线性方程组对任何
有解.
为数域P 上的n 阶方阵，满足条件
试证明方程组（I ）对任何有解的充要条件是A 可逆
.
分别有解
其中b 为一个非零常有解当且仅当（II ）
【答案】首先证明，（I ）对任何
设对n 阶单位矩阵E 的第i
列，则有
令
所以A 可逆
.
. 一
同理可证:（II ）对任何
事实上，由
知
因此问题归结为证明
故有
问题得证.
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