2017年云南师范大学数学学院829数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设曲线明
【答案】由对称性知
2． 设函数f 在且有
若若
综上，存在.
使得
3． 用定义证明下列极限：
【答案】(1) 不妨
设
时有
由
于
故
即(2)
由不等式
得
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的周长和所围成的面积分别为L 和S ，还令证
上连续，且证明：存在点由f (x ) 在
使得
上连续可知F (x ) 在
上也连续.
【答案】作辅助函数
则取
则
或即有
使
得
即
由根的存在性定理知，存
在
于是
取
则
当
于是取则当时有
故
二、解答题
4． 设
其中f (x ) 为可微函数，求【答案】由于函数
与
在定义区域内连续，所以
同理
5． 设
且
考察级数可知
而
所以
即所考察的级数收敛。但由
可知，
发散，故原级数为条件收敛。
的绝对收敛性。
【答案】由
6． 计算下列二重积分：
(1) (2) (3)
其中其中
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(4) (5) (6)
【答案】(1) 原式(2) 曲线
将区域D 分为两部分和
其中其中
其中
其中在内
在 内
所以
(3) 其中 所以
(4) 积分区域为所以
D 关于x 轴对称，而函数关于y 是奇函数，
从而原式令
则
所以
(5) 方法一积分区域关于直线y=x对称，所以
故
方法二作变换
则D 变为
于是
所以
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