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一、证明题

1． 设

取充分性，若

当n>N时，有

则

即

当n>N时，有

即

对

取

证明

的充要条件是

则

当时，有

又因为

所以

对

【答案】必要性，若

则当n>N时，有即

2． 叙述并证明二元连续函数的局部保号性.

局部保号性：若函数作在点

内

与【答案】设续，所以存在

从而当当得在其上

即

可见/在

上与

同号且

上

有

3． 若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区

域

【答案】

假设存在

使得对一切故必在D 上

使得

，

有

不妨设

则

由连续函数的保号性知：

存在

，

与已知

矛盾.

连续，而且

则函数

在点

的某一邻域使得对任

意

因为

时

住取

由上可知存在

使

在点

处连

同号，并存在某个正

数

则存在r , 使

取使得当

时，有

二、解答题

4．

求曲面

【答案】由于

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的面积，其中a ，b 是常数满足

所以曲面面积为

5． 计算

其中S 为圆锥表面的一部分

这里

为常数【答案】由于

则

6． 下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：

(1) (3) (5) (7)

【答案】 (1) 因为(2) 因为

(3) 根据p 的取值范围讨论. 设

时，因时，

因

发散，即原级数在

时，记

则

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(2) (4)

(6) (8) (

. 时) ，而

：

收敛，所以原级数绝对收敛.

由级数收敛的必要条件知原级数发散.

不存在，故原级数发散

.

而此时

收敛，故p>l时原级数绝对收敛，且

时

时不是绝对收敛

.

则当x 充分大时从而当n 充分大时数列单调递减，又故由莱布尼

茨判别法知原级数收敛且为条件收敛.

(4)

记因

而

发散，故原级数不是绝对收敛.

又因

为单调递减数列且

故由莱布尼茨判别法知原级数条件收敛.

(5) 因数列以原级数发散.

(6)

记

因

故可

知所

以

所以(7) 记

(8) 记

则

故当当

1时原级数绝对收敛；

时，

从而原级数发散.

为单凋递减数列且

因

由莱布尼茨判别法可得原级数条件收敛.

故原级数绝对收敛.

发散，即原级数不是绝对收敛.

又记时

，

为单调减函数，

又

单调递减且

所以级数

收敛，又

发散，且

所

7． 求由下列曲线所围的平面图形面积：

【答案】⑴令

故

从而

x+y=a变换成(2) 令变换成

即

所以曲面面积为

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变换成

从而方程

变换成变换成

所以图形面积