2017年云南师范大学数学学院829数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列结论：
(1) 函数(2) 符号函数【答案】(1) 假设
不存在原函数；
不存在原函数. 则
于是
当
即
时
有
当
时
有
由
于
连续，所
以
从而
这与(2) 假设
矛盾.
由拉格朗日定理得
这说明
2． 设
在点在点
不可导，与存在，在点
于是有
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相矛盾.
在点
连续，证明f (x ，y ) 在点
可微.
【答案】因为其中
存在，由一元函数的可微性知
令
时有
故f (x ，y ) 在点
3． 设
从而可微.
其中f 为可微函数，证明：
【答案】设
则
所以
因
为
在
点即
连续，所以
当
二、解答题
4． 求曲线积
分
交成的曲线.
【答案】记
等价于
利用斯托克斯公式得，
5． 半径为r 的球体沉入水中，其比重与水相同. 试问将球体从水中携出需作多少功？
【答案】如图所示，取一水平层的微元，对此微元需作功
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这里L 是球
面
与
图
6． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义.
【答案】设旋转角与时间的函数关系为
则时刻t 到
而时刻t 的角速度定义为
7． 设周期为
与函数
的可积函勤
的傅里叶系数
有
8． 设球体
上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球体的质量.
与
满足关系式
之间的关系.
则给出函数
的傅里叶系数
内的平均角速度为
【答案】作变量替换
【答案】根据题意所求球体的质量为
应用球坐标变换
于是
应用
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