2017年云南民族大学数学与计算机科学学院601数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明域
使得
在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是：对任意在，所以
收敛于f.
充分
性
当
上所有点时，
取所以
时
，
由已
知
使
得
有
在
上一致收敛于f. 从
而
显然，当取遍[a，b]
上一致收敛于f. 总存在
的一个邻域而
和I 的一个内闭区间[a, b]，
使得
在
上一致
在[a, b]上一致收敛于f ，因此
存在的一个邻
【答案】
必要性
覆盖[a, b].由有限覆盖定理，存在有限个区间覆盖[a，b].不妨设
，有
则当n>N时，
在I 上内闭一致收敛于f.
在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性，得
2． 证明数列
【答案】显然
设即
有上界
解得
则
下证
的极限存在，并求其值. 有上界
.
的极限存在，设
在
中，令
•得
由单调有界定理，
3． 证明:黎曼函数
在k 个，记为
作
的分割
使其满足
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上可积。
在
上使得
的点至多有有限个，不妨设是
【答案】由黎曼函数的性质，
由于
而在上式右边第一个和式中，
有
所以
有
由第二充要条件，黎曼函数在
上可积.
且
在第二个和式中，
有
且
二、解答题
4． 设定义在
上的函数，在任何闭区间[a, b]上有界. 定义
上的函数：
试讨论m （x ）与M （x ）的图像，其中 （1）
（2
）
【答案】（1）如果把x 看作时间，那么m （x ）表示从t=a到t=x期间f （x ）的下确界（有时是最小值）.M （x ）则表示从t=a到t=x期间f （x ）的上确界（有时是最大值）. 函数f （x ）=cosx在区间=cosx; 当
内单调递减到最小值一1，并且f （0）是它的最大值. 于是，当时，m （x ）=—1.
对一切
总有M （x ）=1.即
（2）同理可得
（1）与（2）的图像分别如图1和图2所示.
时，m （x ）
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图1 图2
5． 求空间一点下的最小值问题.
由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在.
设
令
由
代入|解得
所以
故
为所求最短距离.
6． 求下列函数的导数：
【答案】
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'
到平面的最短距离.
在条件
【答案】由题意，相当于求
得