2017年浙江大学地球科学学院819数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在[a，b]上可导. 证明：存在
【答案】令
续，在(a , b ) 内可导，
且有
得.
即
2． 证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列
【答案】令M=l，存在且
如果已找到
令
使得
发散于
则存在
使得
即
由
使得
再令
使得
由f (x ) 在
上可导可知，F (x )
在
上连使
故由罗尔中值定理知，
存在
使得
则存在
使的
即
归纳原理知，存在一递増数列
3． 证明：级数
【答案】考察
显然m 适当大时，有
从而 4． 证明：若函数上一致连续.
【答案】首先，由
使
得
时，有
其次，由
在
上连续，知
在
上连续且一致连续.
总
有
知对
存在正数
于是，
对
当
在
上连续，且
其中b 为非零常数，则f (x ) 在
使
由于级数的通项趋于0, 故当
于是，对上述
的
综上，
取
与即
在
5． 设S 为非空有下界数集. 证明：
存在
当
对
当
时，
有时
，
事件至少一个发生. 于是，总
有
上一致连续.
【答案】必要性，设的任一元素X ，
充分性，设取
则. 又因为
则
因为是S 的下确界，所以是S 的一个下界. 于是，对于S 所以是S 中最小的数. 即并且对于S 中的任意元素
即是S 的一个下界.
对于任意
所以是S 的下确界，即
二、解答题
6． 求
【答案】由分部积分可得
令
则
所以
故得
7． 讨论黎曼函数
【答案】（1）先证
在[0, 1]上无理点都连续. 设无理数
若X 为0，1或无理数，总有
若取
的，记为
在[0, 1]中既约分数的分母不大于n 的仅有有限个，选其中最接近于则当
时，有
（2）再证（0，1）上的有理点均为f （x ）的第二类间断点. 设有理数
使
再取有理数列
则使
则
在区间[0, 1]上的不连续点的类型.
取无理数列
由所以不存在. 即证为f （x ）的第二类间断点.
（3）类似可证1不是f （x ）的左连续点. （4）可证0是f （x ）的右连续点.
8． 证明施瓦茨不等式：若
和
在
上可积，则
【答案】
因为
所以
若
则即
故 9． 设
【答案】记
则，
试证：当
时，显然
在
等式成立；若
上式是关于t 的二次三项式，且非负，
于是有判别式
即
上连续，所以可在积分号下求导，即
令
从
当x = 0时
，
则
(C 为常数) ，
所以
因此，
当
时
，
故