2017年浙江大学地球科学学院819数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设S 为非空有下界数集. 证明：
【答案】必要性，设的任一元素X ，
充分性，设取
则
. 又因为
则
因为是S 的下确界，所以是S 的一个下界. 于是，对于S 所以是S 中最小的数. 即并且对于S 中的任意元素
函数
及
故
为Ⅰ上的凸函数。
为I 上的凸函数，则对任何的
及
有
必要性，设
为有
上的
即是S 的一个下界.
对于任意
所以是S 的下确界，即
2． 证明：为Ⅰ
上凸函数的充要条件是对任何凸函数。
【答案】充分性，设
为
上的凸函数，则对任何的
故
3．
设
为
上的凸函数。
上，若f 对y 在为y 的连续函数，
故对
又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述
且
现取
便有
只要
且
时，总有
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定义在闭矩形域
固定的
上处处连续，对x 在
当
上(且且
关于y 为一致连续，证明f 在S 上处处连续.
【答案】
设
时，有
也存在
对满足
的任何y ，
只要
因此，f 在S 上连续.
4． 求证：序列
【答案】对
只要
发散.
及
便有
5． 设函数，的周期为2π，且
【答案】傅里叶系数
由于f (x ) 在
上连续，由收敛定理知对
有
在端点x=0和
处，其傅里叶级数收敛于
令
有
试利用，的傅里叶展开计算
的和数.
二、解答题
6． 计算第二型曲面积
分
的表面并取外侧为正向，
【答案】设平行六面体在
平面上的投影区域分别为
其中S 是平行六面
体
为S 上的连续函数。 则有
7． 设
【答案】由于
求
可微，故
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8． 设
(这个函数在时不连续) ，试证由含参量积分
所确定的函数在【答案】由于当
时，
上连续，并作函数.
因此当
时
的图像.
所以
它在
上连续，
的图像见图
图
9． 求下列不定积分：
【答案】
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