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一、证明题

1． 设f (x ) 在[0, 1]上连续，且收敛.

【答案】对任意的

使从而

2． 设1) 内连续。

【答案】这表明

令

得在式(1) 中，令由式(2) 、式(3) 知，由

的任意性知，

求证

时，

在(0，1) 内连续.

，则要证的不等式等价于

令

则

而

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在

因为

上处处收敛，证明：该级数在[0, 1]上绝对且一致收敛，所以

从而

时

，

由于f (x ) 在[0, 1]上连续，所以在[0, 1]上连续. 由连续函数在闭区间的性质可知，

存在

为在[0, 1]上的最大值，从而存

在使得

当

由于收敛，故该级数在[0，1]上绝对且一致收敛.

与

在(0, 1) 内都是单调不减的. 试证：有都存在.

又由

即

得

类似地可证：

从而

在

即

所以

知对

有

在(0, 1) 内有定义，且函数在(0，

可知，对

点连续.

3． 已知

【答案】当

故

从而有

4． 设E 为平面上一个有界闭集，连续函数f 将E —对一映为平面上的点集F ，证明：(1) F 也是有界闭集；(2) f 的逆映射也是连续函数.

【答案】(1) 由E 为有界闭集，f 为连续函数，显然F 是有界的. 下证F 为闭集.

设

为F 中的任意一个无限点集，对于每个即存在

的子列

满足

则

从而为聚点，即F 中的点均是聚点，从而F 为有界闭集. (2) 由f 是一一映射，

知在 5． 设

【答案】

由题设

于是原命题得证.

可知

证明

介于1与之间.

连续，

当从而

在

存在. 并且对

’

时，连续. 由

的任意性，

知

存在

使得

令上述

即当

是F 上的连续函数.

由

时

，

存在一个使

的

它必有聚点

二、解答题

6． 设在？

【答案】

故当且仅当

7． 设函数

【答案】

在开区间在

时

存在.

内连续且有界，试讨论内非一致连续.

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在点a 连续求问在什么条件下存

在内的一致连续性.

构造函数：

可知，

连续且有界。但是

在

时非一致连续.

当

取

令

当n 足够大的时候

出现矛盾，所以原命题成立. 8． 利用

⑴（2）（3）（4）（5）【答案】 （1）（2）

（3）

（4）（5）因此可得：

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反证法：如果函数一致连续，则对

时，

求下列极限：

；

.