2017年山东师范大学数学科学学院821数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 用有限覆盖定理证明根的存在定理，即设在
使得
证明:用反证法假设【答案】不妨
设
均有
一个开覆盖.
由有限覆盖定理，存在H 中有限个互不相交的开集即
注意到k 是有限个，
所以
因此存在
使得
2． 设函数f (x ，y ) 在点
(1) 试证：存在的邻域(2) 试证：得
(即将y 视为常数，对f (x , y ) 关于x 求驻点). 也就是说，找由方程，
在点又
由
时
(2) 由定义及f 在点
的邻域内满足隐函数存在定理的全部条件，因此在
可确定惟一的连续可微函数x=x(y ) 满
足及其连续性知，存在充分小
的g (y ) =f(x (y ) , y ) .
的可微性，有
其中
(因为x=x(y )
在
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在闭区间上连续，且则存
由
让取遍
在
上的连续性
，
，它构成了将区间
使
得的覆盖，
可得一个开集
在上每一点的函数值都同号，这与矛盾.
的邻域内二次连续可微，且
使对任何
能求得f (x , y ) 关于x 的一个极小值g (y ) ;
【答案】(1) 对给定的y ，要求f (x ，y ) 关于x 的极小值，按照求极值的步骤，应对y 找出x 使
所确
定的隐函数x=x(y ) , 使得
由已知条件，方程点
的某个邻域内由方
程
使
当
. 这表明f (x ，y ) 关于x 在点(x (y ) , y ) 处取得极小值，记为g (y ) , 即
的小邻域内连续，所以当
11时注意到
因此是有意义的). 及
有界，由式(1) 可知，
3． 证明
：
【答案】令
其中
因为
所以函数
所以
4． 设在
【答案】由即在
在
上连续，且
证明
当
时，有
内有界，又由上有界. 设
将
在
上连续知，分拆成两项
对第二项使用第一中值定理，存在由于故证得
5． 设
于
【答案】显然，由题设知
所以对一切n 都有
于是，当
时，
记
证明：数列
与
的极限都存在且等
时
，
所以
使
从而
在
上有界.
综合上面可得
从而
知，对于数1，存在
在即
上是凸函数. 因此
而
其中第一项当时必趋于零. 事实上
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即
递减，并且0是
的一个下界
.
即存在.
设
递增. 由
知
，
是在
得
所以
的一个上界. 由单调有界定理知，的两边同时取极限，
得到
对
的极限都即a=b，
又由
两边取极限
得
二、解答题
6． 求曲面方程为
即
法线方程为
即
7． 计算下列第二型曲面积分
其中S 为由
体表面并取外侧为正向；
其中S 是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取
外侧正向；
其中S 是由平面
侧为正向；
其中S 是球面
的上半部分并取外侧为正向；
其中S 是球面
【答案】(1) 因
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在点处的切平面方程和法线方程.
所以切平面
【答案】由于z 在(1，1) 处可微，从而切平面存在. 因为
六个平面所围的立方
和所围的四面体表面并取外
并取外侧为正向。