2017年山东师范大学数学科学学院821数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 利用施瓦兹不等式证明：
(1) 若在(2) 若在
上可积，则
上可积，且
则
(3) 若
都在
上可积，则有闵可夫斯基
不等式：
【答案】(1) 根据施瓦兹不等式，有
(2)
由有
(3) 由施瓦兹不等式，得
可积，且
知
可积，从而
可积，于是根据施瓦兹不等式，
故
2． 证明
：
于区间
(其中由于
在
) 一致连续，但是于(0，1) 内不一致连续。 内连续，
从而在
内一致连续，
则在区间
【答案】(1)
由于
内也一致连续。 (2) 利用定义，取
存在
取尽管有
(为定值)
但是
，从而函数在区间(0，1) 内不一致连续。
3． 求证
：在上一致收敛. 可得
【答案】方法一：由
又收敛，由M 判别法即得原级数在
先求函数
上一致收敛.
为奇函数，只需讨论
的
方法二：记情形
.
的最大值，由于
又
故
是函数
的最大值点. 因此
4． 设
使得
【答案】取
在
内可导，且
足够大，使得
则有
再由拉格朗日定理，
使得
联合(1) 式与(2) 式，即
且
5． 设f 为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数：
【答案】
求证
：
二、解答题
6． 有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？
【答案】设底的半径为则
容器的高
容器的表面积
于是
的极小值点，此时表面积为最小。
7． 确定常数
【答案】
于是
欲使
为三阶无穷小量，必须有
使当
时，
为x 的3阶无穷小.
由
得
故
又因为
故
是
即当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的
解之得
8． 设定义在
上的函数，在任何闭区间[a, b]上有界. 定义
上的函数：
试讨论m （x ）与M （x ）的图像，其中 （1）
（2）
【答案】（1）如果把x 看作时间，那么m （x ）表示从t=a到t=x期间f （x ）的下确界（有时是最小值）.M （x ）则表示从t=a到t=x期间f （x ）的上确界（有时是最大值）. 函数f （x ）=cosx在区间=cosx; 当
内单调递减到最小值一1，并且f （0）是它的最大值. 于是，当时，m （x ）=—1.
对一切
总有M （x ）=1.即
时，m （x ）
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