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一、证明题

1． 设则必是则存在一点

使

取

在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点在Ⅰ上的最大(小) 值点。

在I 上的最大值点，

在

使得

(

不妨设则当

) 。由连续函数的最大最小值定理知

，

而是

时，

的一个极大值点，所以存在

即是

的一个极小值

证明：若是的极大(小) 值点，

【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是

上存在最小值m 。

因为

点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。

2． 设曲面z=f(x , y ) 二次可微，且要条件是：

【答案】

为一条直线即由f (x ，y ) =c所确定的隐函数y=y(x ) 在XOy 平面上表示

而

故

由此可见，命题成立.

3． 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

【答案】(1

)

足拉格朗日中值定理的条件，故至少存在一

点

于

是

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证明：对任给的常数c ，f (x ，y ) =c为一条直线的充

一条直线. 显然，y=y(x ) 是一条直线

因为

使

得

由

知

所以

因

而

在上满而故

(2)

值定理的条件，

于是存在

4． 设

，

令

使得

则

又因

在

故

上满足拉格朗日中

故

是区间I 上有界且一致连续的函数，求证：

在区间I 上有界，则存在

存在

使得

的一致连续性得到，

对于任意

在I 上一致连续.

再由时，

有

使得当

^

【答案】由于

从而

所以

5． 证明：级数1]上却不一致收敛。

【答案】对任意

级数收敛，故

记

大值，所以

从而下面讨论级数

故原级数在由于

所以原级数在

数在

上却不一致收敛.

上绝对并一致收敛，但其各项绝对值组成的级上一致收敛.

则

进而可得

时在

上取得最

在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0，

在区间I 上一致连续.

二、解答题

6． 应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域) ：

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【答案】(1) 又当

，因

当，

时，级数收敛，故原级数的收敛半径

时，原级数可化为发散，从而得收敛域为

内逐项求导，得

故和函数

(2) 记因为

所以

(3)

因为

所以

所以

因此

7． 求下列函数所确定的反函数组的偏导数：

则收敛区域为

，因为

所以

收敛区域为

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