2018年中南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自两参数指数分布
的样本，证明
是充分统计量.
【答案】由已知，样本联合密度函数为
令
由因子分解定理，
2． 设
（1）
各以
的充分统计量•
的概率取值
且假定
与相互独立. 令
证明:
（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以（2）因为
且X 与Y 相互独立，所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式
考虑到而
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故有
所以
即X 与Z 不独立.
3． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
4． 设随机向量
【答案】记标准化变量为
因为考虑到
故
所以
的协方差阵的行列式为
再由协方差阵的非负定性，可得
移项即得结论.
5． 若事件A 与B 互不相容，且
，证明:
【答案】
6．
设明:
由
为独立同分布的随机变量序列，方差存在.
又设服从大数定律. 【答案】不妨设
知
否则令
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间的相关系数分别为
证明:
为绝对收敛级数.
令即可.
证
并讨论
又因为故有
为绝对收敛级数，可记因为
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
:
7． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
8． 设随机变量X
服从参数为的泊松分布，试证明
:
【答案】
由此得
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.
利用此结果计算