2018年中南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 若
【答案】因为
，证明:
.
•，所以得
由此得
结论得证.
2． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，
证明：其分布函数F （X ）
有
【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知
由
对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图1表示:
，则
，则
图1
3． 设是来自两参数指数分布
是充分统计量.
的样本，证明
【答案】由已知，样本联合密度函数为
令
由因子分解定理，
4． 设随机变量序列数，并求出c.
【答案】因为
且
所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即
5． 设证明:统计量
【答案】分几步进行: （1）若这是因为其中（2）若故
仅在
且的反函数当
则
上取值，所以当为连续严增函数，则也存在. 于是
当
时，
的分布函数为
所以
这是由于y 仅在
当
这是参数为1的指数分布函数，也是自由度为2的（3）由
由（1）与（2）可知
的充分统计量•
独立同分布，且
令
试证明:
其中c 为常
有
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （X ）是连续严增函数，
服从
上取值，
时，有
相互独立，
分布函数，即
的相互独立性可导致
6． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为
表
且
从而
又当
时,
与独立，所以
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立，故
7． 设总体X 的均值为凸线性无偏估计量. 证明:
【答案】由于其中
于是
而
故有
从而
8． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明:
【答案】
服从大数定律.
是来自该总体的一个样本，
为的任一
方差为与
的相关系数为
为的线性无偏估计量，故
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