2018年中南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机向量
【答案】记标准化变量为
因为考虑到
故
所以
的协方差阵的行列式为
再由协方差阵的非负定性，可得
移项即得结论.
2． 设随机变量独立同分布，且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
3． 总体
（1）证明
，其中
的特征函数，由唯一性定理知
是未知参数，又
为样本均值.
所以由
诸
的相互独立性
得
的特征函数
为
间的相关系数分别为
证明:
为取自该总体的样本，
是参数的无偏估计和相合估计；
，则
，从而
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
于是，，这说明是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
4． 设随机变量X 取值
【答案】
5． 证明:若明:
与
是未知参数
的两个UMVUE , 则
依概率几乎处处成立. 这个命题表
的概率分别是
. 证明
:
是
的相合估计.
的UMVUE 在几乎处处的意义下是唯一的. 【答案】首先指出于是
几乎处处成立.
是0的无偏估计，则已知
由此立即可得
几乎处处成立，即
6． 证明:若则对有
并由此写出
与
其
中
【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示
为
且U 与V 独立，从而有
由于
将两者代回可知，在
时，若r 为奇数，则
若r 为偶数，则
证明完成. 进一步，当当 7． 证明:
【答案】不妨设另一方面，还有
综合上述两方面，可得
8． 设
则
为独立的随机变量序列，证明:若诸服从大数定律.
所以由马尔可夫大数定律知
时，（此时要求（此时要求. ，则
否则均值不存在）， 否则方差不存在）.
时，
的方差
一致有界，即存在常数c 使得
【答案】因为
服从大数定律.