2018年中南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本，
是来自
的样本，两总体独立.c ，
d 是任意两个不为0的常数，证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立，故
于是
与分别是两个样本方差.
2． 设
证明:
为独立的随机变量序列，且
服从大数定律.
所以由
服从大数定律.
的独立性可得
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
3．
设为一事件域，若
试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算
（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.
4． 设
. 所以，所以，所以是来自
，由，由
，由（3）（有限交）得，的样本，
为其次序统计量，令
证明【答案】令作变换
相互独立.
则
的联合密度函数为
.
【答案】（1）因为为一事件域，所以
，其中
，故其对立事件
.
其中
联合密度函数为
其雅可比行列式绝对值为
该联合密度函数为可分离变量，因而相互独立，且
5． 证明下列事件的运算公式:
（1）
（2）
【答案】（1）右边=
=左边. , 所以
（2）利用（1）
有
6． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
对
其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在
7． 设
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
8． 设二维随机向量
服从大数定律. 服从二维正态分布，且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
【答案】因
时都为0, 等式得证.