2018年中南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
，即p （X ，y ）可分离变量，其中
下证充分性:因为
由联合密度函数的正则性，得
又因为
9 »
由此可得
x ）所以x 与y 相互独立，且从以上的证明过程可知:h （与也相差一个常数因子
，这两个常数因子的乘积为1.
2． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为所以，
，则
与的联合分布为
相差一个常数因子，
，所以记
.
又问
与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互
即成功概率p 的后验分布为塔分布族.
3． 设
令证明:且
服从
则
相互独立，
，故成功概率p 的共轭先验分布族为贝
相互独立，服从
【答案】令
再令则
所以变换的雅可比行列式为:
计算该行列式，可得
因为，
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
相互独立，且服从
4． 设X 为非负随机变量，a>0.
若
【答案】因为当a>0时
，
5． 设随机变量序列数，并求出c.
【答案】因为
且
独立同分布，且
存在，证明:对任意的x>0,
有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
令
试证明:
其中c 为常
所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即
:
有
6． 试分别设计一个概率模型问题，用其解答证明以下恒等式
（1）（2）（3）
【答案】设计如下的试验，计算相应的概率，即可证得相应的恒等式.
（1）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，不放回. 试求迟早取到白球的概率. 因为袋中N 个球中只有m 个白球，在不放回抽样场合，可能第1次抽到白球，或第2次抽到白球，……，或最迟在N —m+1次必取到白球，若记P k 为第k 次取到白球的概率，则有
且
即
对上式两边同乘N/m即得（1）. 而（2）（3）两个等式可在如下设计的试验中获得证实. （2）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球，若取出白球，则放回；若取出的不是白球，则换一个白球放回. 试求迟早取到白球的概率.
（3）口袋中装有N 个球，其中m 个为白球. 从中每次取出一球后放回，若取出的不是白球，则不仅放回，且追加一个白球进去. 试求迟早取到白球的概率.
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