2018年中南大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设二维随机变量
服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为
是来自该总体的样本，
证明:二维统计量
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处，
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，结论成立.
2． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且
.
证明:
是该二元正态分布族的充分统计量.
【答案】由所以得
3． 设T 是
证明:若
【答案】因为T 是即这说明
，且. 进一步由的UMVUE ,
，则
得是
得
.
又因为
，
的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差，由判断准则知1
*
是0的无偏估计，
，
的UMVUE ，是
即
4． 设随机变量
【答案】
，试证明:
5． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为
表
且
从而
又当
时,
与独立，所以
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立，故
6．
设
为一事件域，若
服从大数定律.
试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算
（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.
7． 设
证明:
. 所以，所以，所以
，由，由
，由（3）（有限交）得，
.
，故其对立事件
.
【答案】（1）因为为一事件域，所以
，其中
为独立的随机变量序列，且
服从大数定律.
所以由
服从大数定律.
的独立性可得
【答案】因为由马尔可夫大数定律知
8． 用概率论的方法证明:
【答案】设故
服从参数
为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数
又由泊松分布的可加性知，
的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知
的泊松分布
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