2017年成都信息工程大学应用数学学院610数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算
，其中
是由平面z=0，z=y，y=1以及抛物柱面
【答案】解法一:容易看出，区域
由
和
的顶为平面
，底为平面
，
在
面上的投影
可用不等式表示为
因此
所围成的闭区域.
所围成。故
解法二：由于积分区域属于
，且被积函数）
关于
面对称（即若点
，则
，因此
）
2． 一平面过点（1，0，﹣l ）且平行于向量a=（2，1，1）和b=（1，﹣1，0），试求这平面方程.
【答案】所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量
故所求平面为1·（x －1）＋1·（y －0）－3·（z ＋1）=0，即
x ＋y －3z －4=0
3． 求由抛物线
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
也
关于是积函数（即
，设过焦点的直线为y=k（x-a ），则该直线与抛物线的交点的【答案】抛物线的焦点为（a , 0）纵坐标为
，
，面积为
故面积是志的单调减少函数，因此其最小值在
4． 求曲线
【答案】
t=0对应的点为（2, 1），故曲线在点（2, 1）处的切线方程为即
法线方程为即
5． 计算下列曲线积分：
，其中L 为圆周
，其中
为曲线
，其中L 为摆线
2π的一段弧；
，其中
的一段弧；
，其中L 为上半圆周
沿逆时针方向；
，其中
沿逆时针方向。
【答案】（1）解法一：L
的方程即为
，于是
，故可取L
的参数方程为
是用平面y=z截球面
所得的截痕，从z 轴的正向看去，
，
，
是曲线
上由
到
；
；
上对应t 从0到
，
在t=0相应的点处的切线方程及法线方程。
，即弦为x=a时取到，最小值为
。
解法二：L 的极坐标方程为
，则
因此。
（5）如图所示，添加有向线段OA ：y=0，x 从0变到2a ，则在由L 与OA 所围成的闭区域D 上应用格林公式可得
图
于是