2017年成都信息工程大学应用数学学院610数学分析考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 计算二重积分
【答案】根据对称性可知
，其中
=0，所以有
.
2． 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙，且这两种产品的边际成本分别为两种产品的产量分别为x （件）和y （件）6+y（万元/件）。
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C （x ，y ）（万元）;
（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本; （Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 ，
【答案】（l ）假设生产甲乙两种产品的总成本函数为C （x ，y ）由于边际成本是积分得因此又由于
所以总成本函数
（2）总产量为50件，即则
第 2 页，共 33 页
（万元/件）与
和，所以可得
，即
，故代入求得
。
。
。
，将代入到C （x ，y ）中
所以当y=26时，C （y ）取最小值11118，此时x=24。 即当x=24，y=26时，总成本最小此时甲产品的边际成本是
生32万元改变。
3． 在曲面上求一点，使这点处的法线垂直于平面程。
【答案】设所求点为面的法向量为（1, 3, 1）。
按题意，n 垂直于平面，故有
求得为
4． 设面密度为常
量质量的质点的引力F 。
【答案】如图所示，引力元素dF 沿x 轴和z 轴的分量分别为
。于是所求点为
，法线方程
，曲面在该点处的一个法向量为
，平
。
（3）当x+y=50且总成本最小时，x=24，y=26。
此意义是要求总产量为50件时，在甲产品24件时。此时要改变一个单位产量时，成本会发
，并写出这法线的方
的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区
域
，求它对位于z 轴上点
处单位
图
和
第 3 页，共 33 页
于是
由于D 关于x 轴对称，且质量均匀分布，故
，因此引力
5． 设
（1）求极限
；
第 4 页，共 33 页