2017年成都信息工程大学大气科学学院601高等数学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 判断下列级数的收敛性：
【答案】（1）此级数为公比（2）此级数的部分和
而
即该级数发散。 （3）此级数的一般项级数发散。
（4）此级数为公比（5）此级数的一般项等比级数，而
故
与
的等比级数，因
注意到
故该级数发散。
分别是公比
与
的
有
不满足级数收敛的必要条件，故该
故
的等比技术，因
故该级数收敛。
均收敛，根据收敛级数的性质可知，原级数
收敛。
2． 在抛物线y=x2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点，作过这两点的割线. 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?
【答案】割线的斜率
2
即2x 0=4， 故x 0=2，
假设抛物线上点（x 0，x 0）处的切线平行于该割线，则有由此得所求点为（2，4）。
3． 下列各题中均假定f ’（x 0）存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么:
（1）（2）（3）【（2）由于
答，故
（3）
4． 用对数求导法求下列函数的导数：
案
】
（
1
，其中
，且
存在。
）
【答案】（1）在，得
并注意到y=y（x ）
于是
（2）在
两端取对数，得
在上式两端分别对x 求导，并注意到
得
于是
两端取对数，得在上式两端分别对x 求导，
（3）在
两端取对数，得
在上式两端分别对x 求导，并注意到
得
于是
（4）在于是
5． 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度
）：
【答案】（l ）曲面所围立体为圆锥体，其顶点在原点，并关于z 轴对称，又由于它是匀质的，因此它的质心位于z 轴上，即有
。立体的体积为
。
两端取对数，得
故所求质心为其质心位于z 轴上，即有
。
。立体的体积为
。
（2）立体由两个同心的上半球面和xOy 面所围成，关于z 轴对称，又由于它是匀质的，故