2018年黑龙江科技大学理学院601数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在
上二阶可导,
, 证明存在一点
【答案】f （x ）在x=a和x=b的一阶泰勒公式分别为
t
由此得到
于是
其中
2． 举例说明:瑕积分
【答案】例如瑕积负
收敛时
不一定收敛.
, 故瑕积分
故瑕积分
发散
收敛, 但
或
, 并且满足
.
, 使得
3． 证明施瓦兹（Schwarz ）不等式:若f 和g 在[a, b]上可积, 则
f x ）【答案】若（与g （x ）可积, 则也可积,
又即
由此推得关于t 的二次三项式的判别式非正, 即
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都可积, 且对任何实数t ,
. 故
故
二、解答题
4． 若f （x , y ）为有界闭区域D 上的非负连续函数,
且在D 上不恒为零, 则
【答案】由题设存在使得对一切又
且连续, 所以
, . , 有
令
.
故
,
, 由连续函数的局部保号性知:
5． 求下列函数在指定点处的泰勒公式:
（1）（2）（3
）
（4）
... 【答案】（1
）
所以
其中
（2）
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在点（0, 0）（到二阶为止）；
在点（
1，
1）（到三阶为止）
；
在点（0
, 0
）;
在点（1
，﹣
2）.
所以
其中
（
3）由于
所以
（4）
所以
6． 求下列极限:
（1）（3）（4）（6）
【答案】（1）极限而当
时,
由所以
第
4
页，
共
27 页
（2）
（5）（7）
在其有定义的邻域
内的值来决定.
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