2018年后勤工程学院应用数学801数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数. 证明:
【答案】两次应用洛必达法则得
2． 证明:函数
在点（0, 0）连续且偏导数存在, 但偏导数在点（0, 0）不连续, 而f 在点（0, 0）可微. 【答案】当
时
当
时
但由于因此当
时
,
的极限不存在, 从而
在点（0, 0）不连续, 然而
所以, 在点（0, 0）可微且
不存在（可考察y=x情况）,
在点（0, 0）不连续.
同理可证因此f 在点（0, 0）连续.
3． 设二元函数f （x , y ）在正方形区域[0, 1]X[0, 1]上连续. 记J=[0, 1].
（1）试比较【答案】 （1
）
由y 的任意性可知
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与
，
有
的大小并证明之；
成立的（你认为最好的）充分条件.
时于任意的x 都成立，
则
（2）给出并证明使等式
（2）若显然
，
使下面证明上面条件为充分条件，
在[0, 1]上连续,
，使
故 4． 设
在
上连续并且单调递减, 证明:函数求导, 得
在
单调递减.
【答案】对
由即函数
在上连续且单调递减, 得
在
上单调递减.
所以
二、计算题
5． 测得一物体的体积限为
g , 求由公式【答案】
所以d 的相对误差限为
6． 设平面光滑曲线由极坐标方程
给出, 试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式. 【答案】曲线的直角坐标方程为
, 于是
7． 设S 为非空数集. 试对下列概念给出定义:
（1）S 无上界; （2）S 无界.
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其绝对误差限为又测得重量, 其绝对误差
算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限.
绝对误差限为.
【答案】（1）设S 为非空数集, 若对任意的正数M , 总存在上界.
（2）设S 为非空数集, 若对任意正数M , 总存在 8． 把
其中f （u ）为连续函数.
【答案】令
上的n （
）重积分
使得
使得则称数集S 无
则称数集S 无界.
化为单重积分,
则
由于
所以
9． 计算下列三重积分:
（1）（2）（3）
, 其中
, 其中
, 其中
及
; （
）所围区域;
, z=0和x=h所围区域.
【答案】（1）因为关于平面x=0对称, 被积函数关于z 为奇函数, 所以
（2）作变换于是
I
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, 则区域变为:
,
, 且